Artikel TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D
Muhammad Ahsar K.
PS Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat
Abstrak
Pada ruang metrik dikenal teorema titik tetap Banach. Di dalam tulisan ini, teorema tersebut tersebut akan dikonstruksi pada ruang metrik-D. Kajian ini dimulai dengan mengkonstruksi konsep-konsep: bola terbuka, himpunan terbuka, barisan konvergen, dan barisan Cauchy masing-masing pada ruang metrik-D. Kemudian diberikan konsep pemetaan kontinu dan pemetaan kontinu seragam pada ruang metrik-D. Selanjutnya dikonstruksi teorema titik tetap Banach di dalam ruang metrik-D.
Kata-kata kunci: ruang metrik-D, bola terbuka-D, himpunan terbuka-D, barisan konvergen-D, barisan Cauchy-D, pemetaan kontinu-D, pemetaan kontinu-D seragam, dan pemetaan kontraksi-D.
- PENDAHULUAN
Analisis abstrak merupakan salah satu materi di bidang analisis matematika yang terus mengalami perkembangan dari waktu ke waktu, baik dari segi teori maupun aplikasinya. Salah satu pembahasan di dalam analisis abstrak adalah ruang metrik (metric space). Konsep ini pertama kali diperkenalkan oleh Mourice Frechet pada tahun 1906. Pada tahun 1992, konsep ruang metrik diperluas oleh Dhage, yang dikenal dengan konsep ruang metrik-D (D–metric space). Kemudian pada tahun 2007, konsep ruang metrik-D dimodifikasi oleh Sedghi dan Shobe, yang dikenal dengan ruang metrik-D*.
Di dalam ruang metrik-D, Dhage telah melakukan beberapa konstruksi dan perluasan terhadap konsep-konsep dasar pada ruang metrik. Demikian pula oleh Sedghi dan Shobe di dalam ruang metrik-D*. Diantara konsep-konsep tersebut adalah: bola terbuka, himpunan terbuka, himpunan tertutup, barisan konvergen, barisan Cauchy, dan kelengkapan. Perluasan konsep tersebut mendorong penulis mengkonstruksi generalisasi dari salah satu konsep pada ruang metrik, yaitu teorema titik tetap Banach pada ruang metrik-D*. Selanjutnya, di dalam tulisan ini, ruang metrik-D* cukup ditulis ruang metrik-D saja.
